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黎曼成为高斯的得意门生后，高斯非常喜欢这个数学天赋极高的年轻人，也经常与黎曼分享他的好奇心，让黎曼重新制定欧几里得几何的基础，以一种可以将曲面纳入通常三维之外的方式。
实际上，在19世纪中后期，一部分数学家们对重新制定欧几里得的几何基础兴趣浓烈，他们也提出了和后来爱因斯坦同样的问题：宇宙有三维空间，那么四维是什么样子的呢？五维、十维、无穷维又是什么样子的呢？为了解开心中的疑惑，数学家们在任意空间维数的几何上做了大量工作，这些几何违反了欧几里得的一个或者多个公理。
遗憾的是，当时数学界的主流思想认为对第四维度的思考是一种荒诞的行为，并不认可。
英国数学家、物理学家沃利斯在他的《代数论》中把第四维度描述为“自然界中的怪物”
，不过这些不成熟的高维几何思想却为黎曼提供了灵感。
数学家证实四维空间真实存在？《三》
博士论文及早期影响
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1851年，二十六岁的黎曼提交了他的博士论文《单复变量函数的一般理论基础》，他的想法深入地影响了复变函数和复几何两门学科的发展，这篇论文被认为是复分析学科的重大突破，是数学的永恒财富。
黎曼也因此成为了复变函数论的奠基人之一。
任职资格试讲与黎曼几何的诞生
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此时的黎曼和大多数毕业生一样面临着择业难题，他希望自己能够留在哥廷根大学任教。
不过当时的德国对毕业生获得留校任教的资格有着严格的要求，黎曼还必须要通过另一场答辩。
经过两年多的筹划，黎曼为任职资格试讲准备了三个选题：“论函数作为三角级数的可表示性的问题的历史”
“论两个未知数的两个二次方程的解”
“论奠定几何学基础之假设”
。
黎曼原本不打算讲“几何基础”
这个选题，因为他对其准备并不充分，且这不是他的长项，所以他把这个选题放在最后，然而却被导师高斯选中了。
于是，黎曼只能硬着头皮上，好在他并没有让高斯失望。
1854年，在其导师高斯的协助下，黎曼在哥廷根大学发表了《论作为几何学基础的假设》的演讲，这就是我们今天所说的黎曼几何。
对于当时的数学界来说，黎曼的思想过于超前，据说现场除了高斯对其演讲内容深度赞赏之外，其余在场嘉宾几乎无人能够听懂，黎曼和他的思想也因此不受待见。
而这份对几何学具有开创性的演讲稿直到黎曼去世的两年后才被正式出版。
黎曼的伟大之处在于他开创了高维抽象几何的研究，处理几何问题的方法和手段是几何史上一场深刻的革命，建立了一种全新的几何体系。
在随后的六十多年里，黎曼的演讲稿几乎无人问津，只有极少数的数学家会翻看。
可谁也没想到，现代物理学的奠基人阿尔伯特·爱因斯坦看到黎曼的演讲后受到了极大的启发，并将其作为广义相对论的基础，黎曼几何才真正踏上了历史的舞台。
按照爱因斯坦本人的评价，当时的物理学家们距离这种思维方式还差得很远。
不过在此后的一百多年里，黎曼几何已经逐渐演化成为现代科学的一块重要基石，时至今日，黎曼几何对现代几何乃至数学和科学各分支的发展都产生了巨大的影响。
那么，黎曼究竟是怎么想的呢？当你了解了他的思路之后，一定会拍案叫绝。
数学家证实四维空间真实存在？《四》
黎曼几何中的空间认知突破
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在黎曼演讲的《论作为几何学基础的假设》中，他描绘了一种全新的物理景象，与高斯的“书虫”
概念很相似。
如果一张纸上面生活着二维生物，当我们把这张纸褶皱后，这些二维生物依然会觉得世界是平坦的，因为它们的身体也会跟着纸张一同变褶皱。
但当它们在褶皱的纸上运动时，就会感到有一股看不见的“力”
阻止它们沿着直线运动，当它们的身体越过纸上的一道皱纹，它们都会被推得左右摇晃。
这是自牛顿之后两百年以来，人类首次在思想上对空间认知的突破。
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