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=
2，由此推出
n2
=
2m2，这表明
n2
为偶数，进而
n
为偶数，设
n
=
2k，则
4k2
=
2m2，即
m2
=
2k2，所以
m
也为偶数，这与
n、m
互质矛盾，从而得出根号
2
不能用分数表示，这一结论推翻了学派的教义，引发了数学史上的第一次危机。
毕达哥拉斯陷入困境，他最终选择维护学派教义，将希帕索斯视为叛徒并将其溺亡，但这一事件促使数学家们重新思考宇宙与数学的关系。
希帕索斯的推理表明根号
2
不能表示为有理数，古人由此将这种无限不循环小数定义为无理数，如根号
5、根号
3
和圆周率π等都是无理数。
无理数的发现冲击了原本基于整数和分数构建的数学体系。
在对微观世界的探索中，原子由原子核与核外电子构成，其尺寸极小，例如一滴汗水中约含五亿亿个原子。
2020
年
5
月，英国剑桥医学委员会分子生物实验室和德国马克思普朗克生物物理化学研究所利用冷冻电子显微镜获得较清晰的原子图像，展示了原子的自旋状态。
由于原子小且电子运动速度快，无法同时精确测定电子位置与速度，只能用概率波表示，电子云概念由此产生，量子隧穿效应也体现了量子世界的不确定性，但无理数与量子力学之间是否存在关联尚无定论。
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