天才一秒记住【长江书屋】地址：https://www.cjshuwu.com
的事情；另一个公式则牵涉流形的形状，相较起来要简单得多。
然而因为这一对镜流形描述的是相同的物理性质，因此结果必须相等。
这就像“狗”
和“犬”
两字看起来不同，描述的却是同一种覆毛的动物。
格林恩与普列瑟的论文中有一个方程式，明确说明这两组看起来长相各异的公式其实是相等的。
格林恩说：“你可以有一个抽象上已知正确的公式，但是想把方程式计算到适当的精确度以得出数值，却是很大的挑战。
我们有方程式，却没有从它提炼出数值的工具。
而坎德拉斯和他的合作者发明出这项工具，这是很大的成就，对几何学也有很大的影响。”
19世纪几何学的重要结果之一是凯利（ArthurCayley）与赛尔曼（GeorgeSalmon）的研究，它们证明在所谓的“三次曲面”
上共有27条直线。
舒伯特后来推广了这个凯利—赛尔曼定理。
（
这个想法阐明了镜对称的潜力。
我们或许不需要再去烦恼卡拉比—丘空间中曲线数量的计数，因为另外有一种和计数这种苦差事比起来很不一样的计算方式，也可以获得相同的答案。
坎德拉斯团队运用这个想法，计算了五次三维形中三次有理曲线的数目，结果答案是。
这章没有结束，请点击下一页继续阅读！
计数这些有理曲线的目的，并不仅止于该数值，而是放眼于整个流形的结构。
因为在计数的同时，基本上我们是以成熟的数学技巧在移动这些曲线，直到过程涵盖整个空间。
在这样的过程中，我们其实是利用这些曲线来定义这个空间，不管它是五次三维形或其他空间都适用。
计数曲面上的直线或曲线数，是代数几何学与枚举几何学中的常见问题。
想知道曲面上的直线的样子，可看看图中这个双直纹双曲面，它是由一系列的直线所完全构成的，而它之所以称为双直纹，是因为曲面上每一点都有两条直线通过。
不过对于枚举几何学来说，这样的曲面并不是好例子，因为上面的直线数是无穷多。
这些结果的整体效果，让一个垂死的几何学分支乍然苏醒。
根据美国加州大学圣地亚哥分校的数学家马克·格罗斯（MarkGross）的看法，坎德拉斯团队领先运用镜对称的想法，解决了这个枚举几何学的难题，导致整个领域获得重生。
“当时这个领域基本上已经死了，”
格罗斯说，“当旧问题解决之后，人们有时回头用数学的新技术来计算舒伯特数，但是这些方法并无新意。”
然后完全出乎意料的，“坎德拉斯带来了新方法，是远远超出舒伯特所能想象的方法。”
物理学家曾经迫切地从数学借用许多材料，然而当数学家倒过来要跟物理借用资源时，他们却要求先看到坎德拉斯方法严格性的更多证明。
喜欢数学心请大家收藏：（）数学心
本章未完，请点击下一章继续阅读！若浏览器显示没有新章节了，请尝试点击右上角↗️或右下角↘️的菜单，退出阅读模式即可，谢谢！