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它涉及到黎曼度量、局部坐标系下的张量运算以及行列式的知识。
要熟练掌握在局部坐标系下对向量场的表示，并且理解散度定义式中每一项的含义，更需要对黎曼几何中的度量张量及其行列式有深入的理解。
到这里，才仅仅只是理解概念的第一步。
第二步，建立散度与测地线性质之间的关系才是真正有挑战性的东西。
这需要熟悉测地线的定义，并且能够将向量场与测地线周围的几何变化联系起来。
理解由向量场生成的单参数微分同胚群对体积的影响，并通过李导数的性质来推导与测地线周围管状邻域体积变化的关系。
这涉及到较为抽象的几何和分析概念。
最后，证明的过程，要将抽象的数学概念和计算与几何直观相结合，需要对黎曼几何、张量分析以及微分方程等多个领域的知识进行综合运用。
至于第三道，要求理解黎曼度量的本质，如何通过局部坐标系来讨论度量的延拓性和唯一性。
仅仅只是证明思路的构建就很复杂。
因为利用局部坐标的相容性和单位分解来证明度量的可扩展性可不是直观易想的方法。
需要理解在不同局部坐标系下度量的变换关系，而这种变换涉及到切向量的坐标变换以及度量系数的相应变化。
单位分解定理本身也是一个相对抽象的工具，理解如何利用单位分解将局部定义的黎曼度量拼接成在整个流形上定义的度量需要比较强的抽象思维能力。
并且在拼接过程中，要验证拼接后的度量仍然满足对称性、双线性和正定性这些度量的基本条件，这需要仔细地推导和验证。
最后的证明过程细节也极多。
例如，在验证局部度量的性质时，需要在局部坐标系下对切向量进行具体的运算，并且在证明度量的变换关系时，要正确地运用链式法则等知识进行坐标变换的推导。
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在利用单位分解拼接度量后，再次验证拼接后的度量满足度量条件的过程也比较繁琐，需要对每一个性质进行细致的分析和推导，同时还要证明这种扩展方式的唯一性。
……
老傅的脑海里电光火石一般，将烂熟于心的三道题完整过了一遍后，开始用搞恶作剧的眼神审视陆兮诉诸笔端下的东西。
先写下切空间的定义，嗯，应有之义。
用符号描述如何从流形的切空间到法向量空间的转化？
解决了？
这么简洁的吗？
老傅一愣。
分神了那么几秒钟，又急急忙忙去看陆兮的第二道的答案。
又是黎曼流形上的定义的开端，然后用散度的公式推导出了结果。
老傅的眼神一下子亮了起来。
因为他看到陆兮展示的流形中不同坐标系下的变化和测地线的关系，竟然能准确指出散度公式背后的几何意义。
老傅暗暗称奇的时候，陆兮已经做到了第三题。
没想到这道涉及了黎曼度量的延拓性的题目，陆兮的解答不仅完美地还原了经典的证明框架，还在每一环节中都给出了清晰严谨的推导。
尤其是黎曼度量的唯一性证明部分，充分显示了她对数学抽象的深刻理解。
这，这，这……
良久，老傅忽然来了这么一句：“陆兮同学，有没有兴趣去中大旁听一段时间？”
对了，老傅宅家自学了一段时间，企图证明没有学校的帮助，他也能证明自己很牛逼。
结果走投无路，甚至一度考虑重新参加高考，最后在一位真正牛逼的同学的介绍下，连学位证书都没有的他，来到了华附。
而那位真正牛逼的同学后来去了中大当教授。
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